循环群的定义

循环群（cyclic group）是指在群论中，能够由单个元素所生成的群。具体来说，如果存在一个元素 \\（a\\in G\\），使得群 \\（G\\） 中的每一个元素都可以表示为 \\（a\\） 的某个整数次幂，即 \\（G = \\langle a \\rangle = \\{a^n \\mid n \\in \\mathbb{Z}\\} \\cup \\{e\\}\\），其中 \\（e\\） 是群的单位元，那么群 \\（G\\） 被称为循环群，而元素 \\（a\\） 被称为生成元。

循环群的性质：

1. 阿贝尔群 ：循环群是阿贝尔群，即群中的运算满足交换律。

2. 生成元的阶 ：如果存在一个元素 \\（a\\in G\\），使得 \\（a^n = e\\） 对所有 \\（n \\in \\mathbb{Z}\\） 成立，那么 \\（a\\） 的阶是群 \\（G\\） 的阶，记作 \\（\\exp（G）\\）。

3. 有限与无限 ：

有限循环群 ：如果生成元 \\（a\\） 的阶是有限的，那么群 \\（G\\） 是有限循环群，且同构于整数同余加法群 \\（\\mathbb{Z}/n\\mathbb{Z}\\）。

无限循环群 ：如果生成元 \\（a\\） 的阶是无限的，那么群 \\（G\\） 是无限循环群，且同构于整数加法群 \\（\\mathbb{Z}\\）。

例子：

\\（\\mathbb{Z}\\） 是无限循环群，由元素 1 生成。

\\（\\mathbb{Z}_3 = \\{0, 1, 2\\}\\） 是有限循环群，由元素 2 生成。

循环群是群论中非常重要且基础的概念，它在数学的许多分支，包括数论、代数几何、计算机科学和密码学等地方都有广泛的应用

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